Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan

http://repository.vnu.edu.vn/handle/VNU_123/60169

Title:	Một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan: Luận văn ThS. Toán học: 604601
Authors:	Lại, Thị Thu
Keywords:	Thống kê toán học;Chuỗi ngẫu nhiên (toán học)
Issue Date:	2017
Publisher:	H.: Trường Đại học khoa họcTự nhiên
Abstract:	Trong luận văn này, tác giả đã tìm hiểu và nghiên cứu về một số chuỗi ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan. Luận văn của tác giả được chia làm 4 chương cùng với những định lý, khái niệm, tính chất thú vị Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, tác giả giới thiệu chung về các kiến thức cơ sở để làm nền tảng giúp người đọc có thể theo dõi và thấu hiểu được hoàn toàn nội dụng của các chương tiếp theo. Kiến thức trong chương này bao gồm: Các dạng hội tụ cơ bản, Các dãy Bernoulli, dãy Gauss chính tắc và dãy α- ổn định chính tắc, modun trên các không gian tuyến tính, lọc và thời điểm dừng, Martingale giá trị thực, các bất đẳng thức cơ bản và một số kết quả của martingale thực. Chương 2. Một số bất đẳng thức cơ bản cho tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên của các biến ngẫu nhiên độc lập. Chương này bao gồm các bất đẳng thức cơ bản về tổng của các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên một không gian Banach khả ly ( F,||.||). Những bất đẳng thức này sẽ được sử dụng rộng rãi trong suốt phần còn lại của luận văn. \ Ta quy ước rằng, nếu X_1,X_2,…là một dãy các biến ngẫu nhiên với các giá trị nằm trên Fthì ta kí hiệu: S_n=∑_(i=1)^n▒〖X_i,〗 S_n^*=max┬(1≤i≤n)⁡〖||S_i ||〗 và 〖X_n^*=max┬(1≤i≤n)〗⁡|(|X_i | )| Ta sẽ có các bất đẳng thức sau: Bất đẳng thức Levy-Octaviani Nếu X_1,X_2,…,X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì với mỗi t≥0. P(S_n^*>t)≤3〖max〗┬(1≤i≤n)⁡P(||S_i ||>t/3) Và ngoài ra nếu X_1,X_2,…,X_n đối xứng thì P(S_n^*>t)≤2P(〖||S〗_n ||>t) Bất đẳng thức co Cho X_1,X_2,…,X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập và đối xứng có các giá trị trên F. Khi đó, với mỗi dãy α_1,…,α_n∈R và bất kì t>0, ta có P(‖∑_(i=1)^n▒〖α_i X_i 〗‖>t)≤2P(max┬(1≤i≤n)⁡〖|α_i |〗.‖∑_(i=1)^n▒X_i ‖>t) Bất đẳng thức moment Nếu X_1,X_2,…,X_n là các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên F thì với bất kỳ s,t,u≥0, ta có P(S_n^*>s+t+u)≤P(X_n^*>u)+P(S_n^*>t).P(S_(*n)^*>s) Ngoài ra nếu X_1,X_2,…,X_n là đối xứng thì P(S_n^*>s+t+u)≤P(X_n^*>u)+2P(S_n^*>t).P(‖S_n ‖>s). Cuối chương này, tác giả sẽ đề cập tới các bất đẳng thức đuôi cho các tổ hợp tuyến tính ngẫu nhiên Bernoulli và Gausian. Chương 3. Sự hội tụvà các nguyên lí trội của các biến ngẫu nhiên độc lập Trong chương này, ta sẽ giả sử X_1,X_2,…,X_n là một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có gái trị trên một không gian F (không gian F này được giả sử là một không gian Banach khả ly hoặc chỉ là một không gian metric tuyến tính khả ly) Một định lý quan trọng và thú vị nhất của luận văn đó chính là định lý Ito-Nisio về một số kiểu hội tụ trùng nhau của chuỗi các biến ngẫu nhiên. Định lý (Ito-Nisio): Cho X_1,X_2,… là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có giá trị trên không gian Banach khả ly F. Khi đó 3 điều kiện sau đây là tương đương: ∑_(i=1)^∞▒X_i hội tụ hầu chắc chắn; ∑_(i=1)^∞▒X_i hội tụ theo xác suất; Các phân phối L(S_n ),n=1,2,…, hội tụ yếu. Ngoài ra, nếu X_1,X_2,… đối xứng thì các điều kiện (i)-(iii) tương đương với ba điều kiện dưới đây: Dãy các phân phối (L(S_n )) là compact tương đối Tồn tại một biến ngẫu nhiên S có giá trị trên F, và một họ D⊂F' các điểm khả ly của F sao cho với mỗi x^'∈D, chuỗi ∑_(i=1)^∞▒〖x'(X_i)〗 hội tụ hầu chắc chắn tới x'(S); Tồn tại một độ đo xác suất μ trên F, và một họ tuyến tính D⊂F' các điểm khả ly của F sao cho, với mỗi x^'∈D, chuỗi ∑_(i=1)^∞▒〖x'(X_i)〗 hội tụ theo phân phối tới x'(μ). Tiếp đó, tác giả trình bày về sự hội tụ theo trung bình cấp p của chuỗi các biến ngẫu nhiên. Bên cạnh đó, tác giả còn đề cập tới những khái niệm khác đó là Moment mũ và các moment khác của chuỗi ngẫu nhiên, các phép trội yếu và phép trội mạnh cùng những định lý và hệ quả liên quan đến những khái niệm này ở cuối Chương 3. Chương 4.Martingale và các nguyên lí trội cho Martingale Trong chương chuẩn bị đầu tiên của luận văn, ta đã được làm quen với các Martingale giá trị thực và một số tính chất của nó. Chương này, tác giả tập trung đi sâu vào Martingale có giá trị trong một không gian Banach F, và cũng như vậy một số tính chất đúng với Martingale giá trị thực cũng đúng với Martingale có giá trị trong một không gian Banach F. Đầu tiên, tác giả giới thiệu Bất đẳng thức Doob cho Martingale có giá trị trong một không gian Banach F (Bất đẳng thức Doob cổ điển cho Martingale có giá trị thực đã được đề cập tại Chương 1). Phần tiếp theo, tác giả trình bày về sự hội tụ của martingale Doob cổ điển cho Martingale con giá trị thực, và sau đó chỉ ra nó cũng đúng khi được phát biểu lại cho Martingale có giá trị trong một không gian Banach F. Đặc biệt, trong chương này, tác giả đã đề cập đến một kiến thức về dãy các biến ngẫu nhiên đó là các định nghĩa và ví dụ về các dãy tách rời và các dãy tiếp xúc. Cuối cùng, tác giả đã trình bày tính ứng dụng của Phép trội yếu và phép trội mạnh đã được giới thiệu ở Chương 3 cho Martingale có giá trị trên không gian Banach F.
Description:	81 tr.
URI:	http://repository.vnu.edu.vn/handle/VNU_123/60169
Appears in Collections:	HUS - Master Theses